* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

9.1J § 9. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 97 В таком случае, разбив участок [t, Т], содержащий все з н а ч е н и я / ( М ) , точками ^ = y < V i O j < . . . < ^ т = Т, построим интегральные суммы 0 Sm =2 m ft = 1 Ук-l И С &*) 5 И ft =S m m = 1 Vm Общий предел интегральных сумм s и S (если он существует) называют интегралом Лебега — Стилтьеса от функции f(M) по множеству Е. Его обозначают символом Из определения ясно, что свойства интеграла Лебега — Стилтьеса совпадают со свойствами обычного интеграла Лебега, если только заменить меру Лебега (там, где она содержится в формулировках) мерой (х. Очевидно, что, заменив какой-либо другой мерой меру Лебега на прямой, мы получим интеграл Лебега — Стилтьеса также для функции одной переменной. Перенос понятия интеграла Лебега — Стилтьеса на случай неограниченных функций также не вызывает никаких затруднений. § 9. Основные функциональные пространства 1. Метрическим пространством называют множество объектов любой природы, в котором определено р а с с т о я н и е между элементами. Это означает, что на данном множестве определена функция, которая каждой паре элементов = (точек) х и у ставит в соответствие некоторое число ( , у), называемое расстоянием между ними и удовлет= воряющее следующим условиям: (х, у) = 0 тогда и только тогда, когда а) (х, у) ^ 0; элементы х и у совпадают; (у, х); б) ( , у) = в) ( ,;)< ( ^ 2) + р0>, z). Перечисленные условия называют аксиомами метрики. Если х, _у, z — точки эвклидова пространства и расстояние между ними определяется обычным способом, то условие в) выражает известное свойство треугольника: сумма двух сторон треугольника не меньше третьей стороны. Поэтому это 4 Р . С. Гутер и д р .