* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

8.5] § 8. ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ n 95 Пусть на ограниченном множестве ECZR задана измеримая и ограниченная функция точки у = f(M), все значения которой заключены строго между числами t и Т. Разобьем отрезок [t Т] на / частей точками t =у <С.У1 <СУ2 <С • • • ... <^y = Т и определим множества } 0 t Тогда можно построить интегральные суммы / * = i fe i = i где означает тг-мерную меру Лебега множества ? . Эти суммы называют соответственно нижней и верхней суммами Лебега. Общий предел, к которому стремятся нижние и верхние суммы Лебега, когда число / неограниченно возрастает, причем длина всех участков [y -i, Ук] стремится к нулю, называется интегралом Лебега от функции f(M) по множеству Е. Его обозначают одним из символов л k f(M)dw Е или \ ... f(x Е 1} х ъ x )dXydXb n ... dx n% Легко видеть, что это определение не отличается от определения, приведенного в § 5. В связи с этим мы не будем останавливаться на свойствах интеграла"Лебега и распространении этого определения на неограниченные функции. Как и для функций одной переменной, функции f (M для которых существует интеграл Лебега, называют суммируемыми. Связь кратного интеграла Лебега с одномерным устанавливается следующей теоремой. Т е о р е м а Ф у б и н и (для функции двух переменных). Пусть в прямоугольнике S(a^x c^y^d) задана суммируемая функция f(x,y). Тогда а) почти для всех х [#> Ь] функция f(x, у) как функция от у суммируема на [с, d] б) если Д означает множество тех х ? [а Ь], для которых f(x, у) суммируема на [с, d], то интеграл } d х y)dy 7 как функция от х суммируем на Д; с