* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

8.2] § 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 89 В дальнейшем, если явно не оговорено противное, мы будем рассматривать точечные множества в эвклидовом пространстве R . Роль отрезков в пространстве R играют параллелепипеды, т. е. множества точек { М } , М ? R коордиa ^x ^b наты которых удовлетворяют неравенствам (k=, 2, . . . , п). Замкнутый (открытый) n-мерный шар радиуса г с центром в точке а определяется как множество точек х, удовлетворяющих условию р (х, а) г -f- 2п (р (х, а) <^ г). Соответственно е-окрестностью точки а называют открытый шар радиуса s с центром в точке а. В отличие от линейных множеств областью в «-мерном пространстве (п ^ 2) называют не любое открытое множество, но открытое и связное множество. При этом открытое множество называется связным, если любые две его точки можно соединить ломаной, все точки которой принадлежат этому множеству. Для пространственного открытого множества нельзя определить составляющих интервалов, как для линейного. Справедливо лишь следующее утверждение: всякое непустое открытое множество есть сумма счетного множества замкнутых параллелепипедов, попарно не имеющих общих внутренних точек. n n n y k k k 2. Переменная величина у называется функцией точки пространства R или функцией п переменных у = f(M) = —f(x , лг , . х ) , определенной на множестве EczR , если каждой точке М(= (х , х х )) ? Е ставится в соответствие определенное значение у. Пусть а — некоторая система множеств пространства R . Мы говорим, что на с определена функция множества, если каждому множеству Е ? а ставится в соответствие определенное число Ф(Е). Функция множеств Ф (Е) аддитивна на о, если для любых двух множеств Е , Е% ? о, не пересекающихся друг с другом, Ф ( ? 1 + Е%) = Ф Очевидно, что если Ф(Е) аддитивна, то для любого конечного числа попарно не пересекающихся множеств E Е ..., Е имеет место равенство n n x 2 п х ь п n х h ь т