* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

7.6] § 7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 87 В ряде случаев представляет интерес ставить задачу ортогонализации иначе. Именно, нужно, имея систему линейно независимых функций {/ (х), заданнйх на отрезке [а, Ь], искать такое продолжение этих функций на больший отрезок, при котором продолженная система оказалась бы ортогональной. Если {f (x)} — произвольная система функций из Z , определенных на отрезке [а, Ь], то функции f (х) можно так продолжить на отрезок [Ь, с], чтобы полученная система была ортогональна на [а, с]. Если при этом первоначальная система была ортогональной на [а, Ь], то после продолжения она будет также ортогональна на [Ь, с]. Полученная в результате ортогонализации система функций может оказаться ненормированной, а ее нормирование умножением на постоянные изменило бы функции f (x) на [а, Ь]. Поэтому -естествен вопрос о возможности продолжения системы до ортонормированной. Условия возможности такого продолжения даются следующей теоремой. Т е о р е м а И. Ш у р а . Пусть функции {f (х)} определены на [a, b] 0<^а<^Ь<^ и f (х) g /А Для того чтобы на [О, 1J существовала ортонормированная система [у (х)]> для которой y (x)=f (x) при х?[а, Ь]> необходимо и достаточно, чтобы максимум интеграла п 2 n n n n t n п n n [ 2 w(*)]&<** a i= 1 при любых летворяющих различных условию последовательностях 00 {% }, t удов- ^ ?= 1 «11=1, не превосходил единицы. 6. В некоторых прикладных вопросах приходится рассматривать системы, ортогональные или ортогональные с весом на бесконечных интервалах (0, оо) или (— оо, оо). Свойства этих систем аналогичны свойствам систем, заданных на конечном интервале. Ортогональность иногда определяется и иначе. Именно, система функций {ср (х)} называется ортогональной на ( — о о , оо), если т (Г>0, т^п). \m ^ ^ cp (х)ср„(х)dx = 0 л m