* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

7.5] § 7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 85 такие значения параметра X, при которых существуют решения, отличные от тождественного нуля и удовлетворяющие граничным условиям у (а) —у (Ь) = 0. Функции, удовлетворяющие уравнению при собственных значениях параметра, называются собственными функциями. Если y (х), y (х) — две собственные функции, то ь = 0. A(x)yi(x)y (x)dx t k k а Таким образом, собственные функции образуют систему функций, ортогональную с весом А (х). Среди функций, ортогональных с весом, важную роль играют системы многочленов. Для каждой весовой функции w(x), суммируемой на отрезке [а, Ь] и положительной почти всюду на нем, существует система многочленов, ортогональных с весом w(x) на [а, Ь], определенная однозначно с точностью до множителей z t 1. Для систем функций, ортогональных с весом w(x), сохраняют силу основные факты, установленные в пп. 1 и 2. При этом вместо функций из 1} следует рассматривать функции f(x), для которых ь ^ / (х) w(x) dx <^ со, 2 а а коэффициенты Фурье функции f(x) по системе {у (х)}, ортогональной с весом w(x), определяются равенствами ь a = w (x)f{x) с р (х) dx. п n л а Наиболее широко используемые системы многочленов, ортогональных с весом, рассмотрены в выпуске СМБ, Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби). 5. Пусть fi(x), / (JC), f (x) — система п функций из I , определенных на [а, Ь]. Эта система называется ли¬ нейно независимой на этом отрезке, если никакая линейная комбинация этих функций с отличными от нуля постоянными коэффициентами не может обращаться в нуль почти всюду на [а, Ь]. Критерий линейной независимости функций / (х), f (х),... дается следующей теоремой. ..., / (х) 2 n 2 t % п