* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

84 ГЛ. 1. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [7.4 этим все теоремы, относящиеся к функциям Радемахера, могут быть истолкованы в теоретико-вероятностном смысле. Система Радемахера является неполной системой. Естественным ее пополнением является система функций Уолша {Wnix)}, которая может быть построена так: пусть число п представляется в виде суммы степеней двойки, п = ^ k Q 0 a2, k k где a принимают значения 0 и 1. Положим w (х) = г 0*0= 1 и ™п (X) = J J [Гд+1 ( * ) ] * * tt^h где гi (х) — соответствующие функции ности, w (x) i Радемахера. В част- = r (x); l w*(x) = rz(x); w^(x) = r {x)r (x) ... Wi(x) = r {x) г (лг)r (x) l i x 2 z Система функций Уолша является полной ной системой на отрезке [0, 1]. п ортонормирован- 4. Пусть система функций {у (х)} при некоторой фиксированной неотрицательной функции w(x) обладает свойством ъ w (х) (х) „ (х) dx = Ь . т>п Такую систему принято называть ортогональной с весом w(x). Ясно, что при этом система {^ (x)y w(x) будет ортогональной в обычном смысле. Функцию ^(лг) называют весовой функцией. При w (х) ~ 1 мы приходим к ранее рассмотренному понятию ортогональности. Системы функций, ортогональных с весом, часто возникают при рассмотрении краевых задач обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Рассмотрим уравнение второго порядка вида r n $ + ЬЛ(х)у = 0, где ^ — действительный параметр и Л ( л : ) ^ > 0 — непрерывная значениями уравнения называют функция. Собственными