* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

7.3J § 7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 83 Другим примером ортогональной системы на отрезке [ — 1 , 1] является полная система многочленов Лежандра Для того чтобы сделать ее нормированной, достаточно мно¬ гочлен Р (х) п умножить на 1 / — ~ — . образующие ортонормированную Функции Радемахера, систему на отрезке [0, 1], строятся следующим образом. Полагаем г ( х ) = 1 . Для натурального k^>0 разбиваем отрезок [0, 1] на 2* равных отрезков, на каждом из которых функция r (x) принимает попеременно значения - f - 1 и — 1 , а в концах их — значение нуль. Иначе можно сказать, что для точки x?[Q, 1] функция r {x) принимает значение - j - 1, если на k-m месте двоичного разложения х стоит нуль, и значение — 1, если на k-м месте двоичного разложения х стоит единица; если же х допускает два двоичных разложения с различными &-ми цифрами, то r (x) — 0. Эта система обладает интересным свойством мультипли... q — натуральные числа кативности: если j <=k^l^ и г (х) — функции Радемахера, то 0 k k k ( 1 j(x)r (x) k ... r (x)dx q = 0, за исключением того случая, когда выражение под знаком интеграла Является произведением пар одинаковых сомножителей. В этом случае интеграл равен единице. Функции Радемахера вание. Функция г (х) х допускают вероятностное истолко- равна для х ? ^0, - i - j и — 1 для l j . Если выбирать наудачу точку х, считая вероятность выбора точки, принадлежащей множеству В, равной тЕ, то вероятности значений -- 1 и — 1 для функции г (х) одинаковы и равны половине, что соответствует вероятностям выпадания герба и решетки при одном бросании монеты. Аналогично задачу об п бросаниях или любую другую задачу на повторение испытаний с двумя равновероятными исходами можно формулировать с помощью функций г (х). В связи с х п