* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

74 ГЛ. I . ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [6.4 4. Пусть {f (x)— последовательность функций, опреде? ленных на множестве ECZ[a, Ь]. Говорят, что эта последовательность сходится в среднем к функции fix), если n 1/п *) —/(*)]* dx—+0 Е (п — ), где интеграл понимается в смысле Лебега. Иногда говорят также более точно о сходимости в среднем квадратическом. Последовательность f(x) называют сходящейся в среднем /7-й степени (р^>0) к функции fix), если 1/п С*) Е —К*) У — О (П — ОО). Чаще всего используется случай р^1. Имеет место следующая Т е о р е м а А. Л е б е г а . Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность {/„ (лг)} измеримых и почти всюду конечных функций, которая сходится почти всюду на Е к функции fix). Тогда для всякого е ^ > 0 справедливо соотношение lim тЕ{/ (х)^-/(х)^г} п = 0. П—+ОЭ Эта теорема дает повод ввести следующее определение. Пусть задана последовательность функций {f (x)}> измеримых и почти всюду конечных на измеримом множестве Е. Говорят, что она сходится по мере на множестве Е к функции fix), если n lim mE{f n (х) —f(x) I ^ е} = О для любого е ^ > 0 . Тогда приведенную выше теорему Лебега можно формулировать так: последовательность, сходящаяся почти всюду, сходится по мере к той же предельной функции. Очевидно, что любую функцию, совпадающую с fix) почти всюду, также можно считать предельной функцией в смысле сходимости по мере для данной последовательности {f (x). Теорема Лебега не допускает обращения, т. е. из сходимости последовательности по мере не следует ее сходимость n