* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

6.3] п k п § б . ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ 73 и (x ) — и (х) = 0. Поэтому при фиксированном k f(*k) —f (-*)= S ± (** — x) =p k-l (x k — где p есть целое число, четное или нечетное вместе с k — 1. Таким образом, разностное отношение при k—*oo не может иметь предела, так что функция f{x) не дифференцируема. На рис. 10 показан участок графика • нескольких частичных сумм ряда, определяющего функцию f{x). 3. Из того, что последовательность непрерывных функций сходится к непрерывной функции, не следует, что сходимость равномерна. Это заключение возможно лишь при некоторых дополнительных предположениях. Например, если последовательность непрерывных функций сходится к непрерывному пределу, возрастая, то сходимость равномерна. Следующая теорема показывает, что в некотором смысле равномерная сходимость имеет место в любом случае. Т е о р е м а Д. Ф. Е г о р о в а . Пусть последовательность измеримых и почти всюду конечных функций f (х)} сходится почти всюду на отрезке [а, Ь. Тогда для всякого s ^ > 0 существует множество Е Ь мера которого тЕ^>Ь — а — е и на котором последовательность {/„(*)} сходится равномерно. Теорема Егорова находит широкое применение в теории функций и вместе с теоремой Лузина о С-свойстве (п. 5 § 3) составляет содержание центральных положений теории функций: с точностью до множества как угодно малой меры всякая функция непрерывна и всякая сходимость равномерна. Возможность представления функции с помощью ряда полиномов устанавливается следующими теоремами. Т е о р е м а К. В е й е р ш т р а с с а . Всякая непрерывная функция f(x) на отрезке [а, Ь] есть сумма ряда полиномов, сходящегося к f (х) абсолютно и равномерно на [а, Ь]. Т е о р е м а Н. Н. Л у з и н а . Для всякой функции f(x измеримой на отрезке [а, Ь существует ряд полиномов, абсолютно сходящийся к f {x) почти всюду на [а, Ь. n