* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

6.2] § 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ ?! Если равенство справедливо, то говорят, что допустим предельный переход под знаком интеграла. Интеграл можно понимать в различных смыслах. Для интеграла Римана при сходимости последовательности в каждой точке отрезка предельный переход допустим не всегда, ибо предельная функция может оказаться неинте{f (x) грируемой. Тем не менее если последовательность функций, интегрируемых по Риману на отрезке [а, Ь], равномерно сходится, то предельная функция fix) также интегрируема по Риману и возможен предельный переход под знаком интеграла. Аналогичное утверждение справедливо и для интеграла Лебега, но для него верна и гораздо более общая теорема, о чем речь будет ниже. Иначе обстоит дело с дифференцированием последова— последовательность функций, тельности. Пусть f (x) дифференцируемых на отрезке [а, Ь], сходящаяся хотя бы в одной точке отрезка. Тогда если последовательность производных {/«(•*)} равномерно сходится на [а, Ь] к функции ср ix),mo первоначальная последовательность равномерно сходится на {а, Ь] к дифференцируемой функции, производная которой равна с р ( х ) . Равномерной сходимости самой последовательности дифференцируемых функций не достаточно для того, чтобы предельная функция была дифференцируемой. На этом обычно основываются примеры непрерывных функций, не имеющих производной (см. п. 1 § 4), первый из которых был построен К. Вейерштрассом. Приведем один из таких примеров. П р и м е р В а н - д е р - В а р д е н а. Определим для каждого # = 1 , 2, . . . и для любого х^[0, 1] функцию и (х) как n n п расстояние от точки х до ближайшей к ней точки вида —, где т — целое число (участок графиков функций и ( )х п и (х), х щ (х), щ (х), щ (х) см. на рис. 9). Ясно, что каждая из функ¬ ций и (х) п непрерывна. Пусть теперь f(x) = ^ Этот ряд сходится равномерно, так как всюду на [0, 1] справедтакни ливо неравенство | w „ ( j * r ) | < ^ . Поэтому функция f(x) же непрерывна. Вместе с тем она не имеет производной в одной внутренней точке интервала (0, 1).