* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.5] § 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 43. рывной. Однако даже непрерывная функция с ограниченной вариацией может не быть абсолютно непрерывной. Для того чтобы непрерывная на отрезке [а, Ь] функция, fix), имеющая ограниченную вариацию на этом отрезке, была на нем абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы образ f(E) любого множества Е меры нуль также был меры нуль *). Суперпозиция **) двух абсолютно непрерывных функций может и не быть абсолютно непрерывной. Однако абсо- лютно непрерывная функция F от абсолютно непрерывной и монотонной функции f, т. е. F[f(x)], есть абсолютно непрерывная функция. Точно так же, если f(x) абсолютно непрерывна на отрезке [а, Ь], a F(y) удовлетворяет условию Липшица на отрезке, содержащем все значения f{x), то F[f(x)] абсолютно непрерывна на [а, Ь]. Мы имеем здесь два достаточных условия, при которых суперпозиция абсолютно непрерывных функций является абсолютно непрерывной. Более общее условие дает Т е о р е м а Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц а . Если функция f(x) абсолютно непрерывна на отрезке [а, Ь] и F{y) абсолютно непрерывна на отрезке, содержащем все значения f{x), то для того чтобы суперпозиция F[f(x)] была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с ограниченной вариацией. 5. Пусть функция f{x) определена на множестве Е. Множество тех точек х из Е, для которых выполняется нерабудем обозначать через E{f^>а]. В невенство f(x)^>a, которых случаях, для того чтобы подчеркнуть, что речь идет Аналогично о множестве точек х, пишут Е {xf(x)^>a}. определяются символы E{f^a], E{f=a} и т. д. Функция f(x) называется измеримой на множестве Е, если Е измеримо и для любого а измеримо также множество Ясно, что функция, заданная на множестве меры всегда измерима, поскольку любая часть множества нуль также есть множество меры нуль. *) Это свойство функции Н. Н. Лузин назвал **) Суперпозицией функций и = <р(лг) и у=/(и) нуль, меры функция у = / ( * ) ] . N-свойством. называется