* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

2.4] § 2. МЕРА ЛЕБЕГА ЛИНЕЙНЫХ МНОЖЕСТВ 33 творяет условиям О < ^ т Е < ^ Ь — а, все его точки, кроме множества меры нуль, являются точками плотности Е, а все точки дополнения, кроме множества меры нуль, — точками разрежения Е. Если все точки некоторого множества, кроме точек, образующих множество меры нуль, обладают каким-либо свойством, то говорят, что этим свойством обладают почти все точки или чгЬ это свойство имеет место почти всюду. Пользуясь этим термином, можно сказать, что почти все точки измеримого множества суть его точки плотности. Этот факт показывает, что множество промежуточной меры располагается на отрезке не равномерно, а неоднородным образом, «сгустками», плотно в одних местах и разреженно в других, подобно системе отрезков. Сходство между измеримым множеством и отрезком подкрепляется следующими утверждениями: если измеримые множества Ei и Е% имеют х точ* кой плотности, то они пересекаются и х является точкой плотности пересечения&, если множества Ei и Е$, лежащие на отрезке [а, Ь измеримы и сумма S их мер превосходит b — а, то они пересекаются, причем мера пересечения больше, чем $—(Ь — а). 0 й 4. Пусть E Eq, ..., Е , . . . — последовательность линейных множеств. Верхним пределом данной последовательности множеств называют множество всех таких точек, каждая из которых входит в бесконечно многие множества последовательности. Множество всех точек, каждая из которых содержится во всех множествах последовательности, кроме конечного числа, называют нижним пределом последовательности множеств. Верхний и нижний пределы последовательности it п множеств обозначают соответственно через lim Е или lim sup ? п ~* со л п и lim Е п и lim inf Е . п Иначе говоря, множество, являю* я -*• со щееся нижним пределом последовательности, состоит из точек, принадлежащих всем множествам последовательности, начиная с некоторого номера, а множество, являющееся верхним пределом,— из точек, принадлежащих множествам с как угодно большими номерами. 2 Р. С Гутер и д р .